导数

定义

导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。即：当函数 $y=f(x)$ 的自变量 $x$ 在一点 $x_0$ 上产生一个增量 $\Delta x$ 时，函数输出值的增量 $\Delta y$ 与自变量增量 $\Delta x$ 的比值在 $\Delta x$ 趋于0时的极限a如果存在，a即为在 $x_0$ 处的导数，记作 $f'(x)$ 或 $\dfrac{df(x_0)}{dx}$ 。

🌰举个栗子

速度公式： $v=\dfrac{s}{t}$ ，意思是：速度等于路程除以时间。

平均速度： $\overline{v}=\dfrac{\Delta s}{\Delta t}=\dfrac{s\left(t_0+\Delta t\right)-s\left(t_0\right)}{\Delta t}$

瞬时速度也就是 $\Delta t\to 0$ 的时候， $v(t_0)=\lim\limits_{\Delta t \to 0}{\overline{v}}=\lim\limits_{\Delta t \to 0}{\dfrac{s(t_0+\Delta t)-s(t_0)}{\Delta t}}$

由于平均变化率的极限存在，则称此极限为函数y=f(x)在点x_0处的导数。

求导公式

函数	原函数	导函数
常函数	$y=C$ （C为常数）	$y'=0$
指数函数	$y=a^x$ $y=e^x$	$y'=a^x\ln a$ $y'=e^x$
幂函数	$y=x^n$	$y'=nx^{n-1}$
对数函数	$y=\log_a{x}$ $y=\ln x$	$y'=\tfrac{1}{x\ln a}$ $y'=\tfrac{1}{x}$
正弦函数	$y=\sin x$	$y'=\cos x$
余弦函数	$y=\cos x$	$y'=-\sin x$
正切函数	$y=\tan x$	$y'=\sec^2 x$
余切函数	$y=\cot x$	$y'=-\csc^2 x$
正割函数	$y=\sec x$	$y'=\sec x \tan x$
余割函数	$y=\csc x$	$y'=-\csc x \cot x$
反正弦函数	$y=\arcsin x$	$y'=\tfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
反余弦函数	$y=\arccos x$	$y'=-\tfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
反正切函数	$y=\arctan x$	$y'=\tfrac{1}{1+x^2}$
反余切函数	$y=arccot{x}$	$y'=-\tfrac{1}{1+x^2}$
双曲线函数	$y=\mathrm{sh} x$	$y'=\mathrm{ch} x$

求导运算

(u±v)'=u'±v'
$(uv)'=u'v+uv'$
$(\dfrac{u}{v})'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ （v≠0）
$(Cu)'=Cu'$
$(\dfrac{C}{v})'=\dfrac{Cv'}{v^2}$ （C为常数）

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求导公式 ​

求导运算 ​

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求导公式

求导运算