偏导数 ​

定义 ​

函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的某个领域内有定义，设$y=y_0$，一元函数$f(x,y_0)$在点$x=x_0$处可导，即极限$\lim\limits_{\Delta x\to0}\dfrac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}=A$。 则称A为函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处关于自变量x的偏导数，记作：$f_x(x_0,y_0)$。

• 比如优化一个损失函数，往x轴和y轴移动都可以变小，如果想让目标函数变小一些，最后优化结果肯定是x和y一起变找到最优解，所以要分别进行求导找到各自的变化规律，找出最优的位置。

🌰举个栗子 ​

求：$f(x,y)=x^2 + 3xy + y^2$在点$(1,2)$处的偏导数

解： 根据幂函数求导公式，分别进行求导：

• 对x求导，$f_x(x,y)=2x+3y$
• 对y求导，$f_y(x,y)=3x+2y$

∴ 带入点$(1,2)$可得，

$f_x(1,2)=(2x+3y)=8$

$f_y(1,2)=(3x+2y)=7$