函数 ​

定义 ​

量和量之间的关系

$A = \pi r^n$

类型 ​

1 - 分段函数 ​

x取不同值的时候，得到的结果是不一样的

$f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \sqrt{x}, & x \geq 0 \\ -x, & x<0 \end{array}\right.$

2 - 反函数 ​

自变量和因变量对调

$\mathrm{h}=\frac{1}{2} g t^{2} \rightarrow h=h(t) \quad \mathrm{t}=\sqrt{\frac{2 \mathrm{~h}}{\mathrm{~g}}} \rightarrow t=t(h)$

3 - 显函数和隐函数 ​

显函数：

直接写出y的公式，称为显函数

$y=x^2+1$

隐函数：

不直接写出来的，称为隐函数

$F(x,y)=0,3x+y-4=0$

特性 ​

1 - 奇偶性 ​

偶函数

基于y轴对称

$f(-x)=f(x)$

奇函数

基于原点对称

$f(-x)=-f(x)$

2 - 周期性 ​

呈现出周期变换

$f(x+T)=f(x)$

3 - 单调性 ​

一直递增，或者递减

$y=f(x)$

4 - 连续性 ​

函数$y=f(x)$在点$x_0$的某领域内有定义，如果自变量的改变量$\Delta x$趋近于零时，相应函数的改变量$\Delta y$也趋近于零，则称$y=f(x)$在点$x_0$处连续。

$\lim_{\Delta x\to0}\Delta y =\lim_{\Delta x\to0}\left[f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)\right]=0$

函数在点$x_0$处连续的条件：

1. 函数在该点处有定义
2. 函数在该点处极限$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$存在
3. 极限值等于函数值$f(x)$

🌰举个例子 ​

证明： 函数$f(x)=\begin{cases}x+1 & \quad x\leq0 \\ \dfrac{\sin x}{x} & \quad x\gt0\end{cases}$在$x=0$处的连续性？

∵ $x=0$连续，则$f(0)=1$

∴ $\lim\limits_{x\to0^-}f(x)=\lim\limits_{x\to0^-}(x+1)=1$

∴ $\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{\sin x}{x}=1$

∴ 由以上可知，$\lim\limits_{x\to0}f(x)=f(0)=1$，根据第三点条件可知函数符合连续性。

5 - 间断点 ​

函数$f(x)$在点$x=x_0$处不连续，则称其为函数的间断点。

函数在点$x_0$处间断的条件：

1. 函数$f(x)$在点$x_0$处没有定义
2. 极限$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$不存在
3. 满足前两点，但是$\lim\limits_{x\to x_0}f(x) \neq f(x)$

间断点分类：

• 第一类间断点：当$x\to x_0$时，$f(x)$的左右极限存在，则称为第一类间断点，否则为第二类间断点。
• 跳跃间断点：$\lim\limits_{x\to 0^-}{f(x)}$与$\lim\limits_{x\to 0^+}{f(x)}$均存在，但不相等。
• 可去间断点：$\lim\limits_{x\to x_0}{f(x)}$存在，但不等于$f(x)$

🌰举个栗子 ​

函数 $f(x)=\dfrac{x^2-1}{x^2-3x+2}$ 的连续性怎样？

∵ 因式分解可得，$f(x) = \dfrac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x-2)}$

∴ 因为分母为0时$f(x)$没有定义，则在点$x=2$和$x=1$处没有定义

∴ 带入$x=1$，左右极限存在，且$x=1$没有定义，则$x=1$是可去间断点 $\begin{aligned}\lim\limits_{x\to 1^{-}}\dfrac{x^{2}-1}{x^{2}-3x+2}&=\lim\limits_{x\to1^-}\dfrac{x+1}{x-2}=-2 \end{aligned}$

$\begin{aligned}\lim\limits_{x\to 1^{+}}\dfrac{x^{2}-1}{x^{2}-3x+2}&=\lim\limits_{x\to1^+}\dfrac{x+1}{x-2}=-2 \end{aligned}$

∴ 带入$x=2$，$f(x)$完全不一样，则$x=2$是第二类间断点

$\lim\limits_{x\to2^-}{f(x)}=-\infty$

$\lim\limits_{x\to2^+}{f(x)}=+\infty$